Grazie ad Anna, la mia regina degli scacchi, sono recentemente venuto a conoscenza di un interessante collegamento tra il mondo delle 64 caselle e la matematica: sto parlando della distanza di Manhattan (da cui il titolo dell’articolo) e della distanza di Chebyshev. Per non attirarmi l’ira di Anna e dei suoi colleghi matematici, riporto di seguito le definizioni esatte, dalla fonte, di questi due concetti (eventuali reclami da sporgersi a Wikipedia):

– distanza di Manhattan: In matematica, la geometria del taxi o distanza di Manhattan (in inglese Taxicab geometry o Manhattan distance) è un concetto geometrico introdotto da Hermann Minkowski secondo il quale la distanza tra due punti è la somma del valore assoluto delle differenze delle loro coordinate.

– distanza di Chebyshev: In matematica, la distanza di Čebyšëv, conosciuta anche come distanza della scacchiera o distanza di Lagrange, è una distanza su spazi vettoriali tale per cui la distanza tra due vettori è il valore massimo della loro differenza lungo gli assi.

In pratica queste due definizioni descrivono la distanza tra due punti nello spazio in modo del tutto differente rispetto alla nostra normale, ed euclidea, concezione di tale concetto. In particolare a scacchi i movimenti di Alfiere, Torre, Donna e Re obbediscono alle regole, o formule, delle distanze di Manhattan (Alfiere e Torre) e Chebyshev (Donna e Re).

Per procedere con la spiegazione consideriamo innanzitutto una scacchiera sgombra con la sola Torre in a1. Dopodiché immaginiamo ciascuna casa come un punto di coordinate di un piano cartesiano x y. La casa a1 sarà perciò di coordinate x=0 y=0, ovvero l’origine del piano, mentre la casa h8 sarà di coordinate x=7 y=7.

Ciò detto, la distanza D che la Torre in a1 (casa di set di coordinate x1 y1) dovrà percorrere per andare in h8 (casa di set di coordinate x2 y2) sarà uguale a:

D = | x1 – x2 | + | y1 – y2 | = | 0 – 7 | + | 0 – 7 | = 7 + 7 = 14

Interessante è notare come questo valore sia indipendente dalla geometria del percorso scelto per arrivare in h8. Proseguite per a8 e poi svoltate a destra, oppure procedete a zig-zag lungo la grande diagonale a1-h8: la distanza di Manhattan sarà sempre di 14. Se consideriamo inoltre che la Torre può muoversi di n case alla volta, a differenza per esempio del Re, allora possiamo concludere che, a scacchiera sgombra, una Torre impiega sempre e solo una o due mosse per spostarsi da una casa qualsiasi a un’altra.

Lo stesso ragionamento seguito finora si applica anche all’Alfiere con l’unica differenza che, ovviamente, la casa di arrivo debba essere dello stesso colore di quella di partenza. Possiamo quindi concludere che, a scacchiera sgombra, un Alfiere impiega sempre e solo una o due mosse per spostarsi da una casa qualsiasi a un’altra dello stesso colore.

Più complesso è invece il caso di Donna e Re. Per procedere con la spiegazione consideriamo il diagramma con il solo Re in a4 e immaginiamo nuovamente ciascuna casa come un punto di coordinate di un piano cartesiano x y. Questa volta vogliamo dimostrare che, attraverso l’applicazione della formula della distanza di Chebyshev, il Re in a4, per esempio, impiega sempre 7 mosse per arrivare sia in h4 che in h8.

Definiamo innanzitutto la casa di partenza a4 come l’origine del piano, quindi di coordinate x=0 y=0. Dopodiché ricaviamo i due set di coordinate delle case di arrivo h4 e h8:

Infine, prendiamo i valori massimi per ciascun set di numeri e constatiamo che sono per entrambi 7. Ciò dimostra l’equivalenza in termini di distanza tra le case a4-h4 e a4-h8.

Per il Re in particolare, muovendo esso solo di una casa per volta, questa distanza di sette corrisponde anche al numero di mosse necessarie per percorrerla. La Donna invece segue la stessa logica di Torre e Alfiere e impiega sempre e solo una o due mosse per spostarsi da una casa qualsiasi a un’altra.

È arrivato il momento di mettere in pratica le nostre nuove conoscenze sul movimento del Re con questo interessante problema.

Il Re bianco è lontano dal centro dell’azione e pare proprio che non riuscirà a difendere in modo efficace il suo pedone in b6. Per aiutarvi nella risoluzione del problema, elenco di seguito i temi principali della posizione:

– le strade multiple del Re (o distanza di Chebyshev)
– la posizione di Trébuchet
– la spallata
– le case chiave nei finali di Re e pedone vs. Re

Per chi non fosse familiare con nessuno o solo alcuni di questi temi, trova di seguito i passaggi risolutivi del problema:

1) Innanzitutto, abbiamo appena imparato che per andare da una casa a un’altra il Re può percorrere diverse strade (multiple appunto) equivalenti tra loro in distanza. Ciò significa che il Re bianco può approcciare il pedone in b6 in diversi modi e impiegando gli stessi tempi (numero di mosse). In particolare, Il Re bianco può muoversi in tre direzioni: in alto a sinistra, a sinistra o in basso a sinistra.

2) Se si sposta in alto a sinistra, raggiungiamo la seguente posizione di Trébuchet, una posizione di zugzwang reciproco in cui la mossa è al Bianco e il Re nero cattura il pedone. Il Bianco perde.

3) Se si sposta a sinistra, raggiungiamo la seguente posizione in cui il Re nero interrompe la traiettoria di movimento del Re bianco, in gergo effettua una spallata, e lo allontana quanto basta dalla difesa del pedone. Il Bianco perde.

4) Se si sposta in basso a sinistra, raggiungiamo invece la seguente posizione in cui il Re bianco riesce a incrociare dal basso la traiettoria del Re nero e si avvicina per difendere il pedone. Il pedone in b6 viene comunque catturato, ma il Re bianco è giusto in tempo per impedire al Re nero di occupare le case chiave del suo pedone in b7. Dalla teoria dei finali di Re e pedone vs. Re, la posizione è patta.